核心结论是 tanx 的平方也就是 (tanx)²，它的导数等于 2tanx 乘以 sec²x，这个求导属于典型复合函数求导，要用链式法则，外层是 u²，内层是 u 等于 tanx，先对外层求导，再乘以内层 tanx 本身的导数，tanx 的导数是 sec²x，把两步相乘就得到最终结果，这个考点是高等数学一元函数求导高频题型，很多同学容易漏掉内层导数，只算出 2tanx，这个是最常见错误，同时还可以利用三角恒等式把结果做等价变形，写成 2tanx 乘以 (1 加 tan²x)，两种写法都是正确答案，做题的时候根据题目要求选择合适形式。
推导完整步骤
设 u 等于 tanx
原函数 y 等于 u²
外层求导 dy/du 等于 2u
内层求导 du/dx 等于 tanx 的导数等于 sec²x
根据链式法则 dy/dx 等于 dy/du 乘 du/dx
代入回去
dy/dx 等于 2u 乘 sec²x
把 u 换回 tanx
dy/dx 等于 2tanx sec²x
等价变形拓展
三角恒等式 sec²x 等于 1 加 tan²x
所以导数也可以写成
2tanx (1 加 tan²x)
展开之后等于 2tanx 加 2tan³x
这三种形式数学上等价，考试任选一种都可以，一般优先写 2tanx sec²x 这个标准形式
相关基础导数对照表
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| tanx | sec²x |
| (tanx)² | 2tanx sec²x |
| (cosx)² | 负 2cosx sinx |
| (sinx)² | 2sinx cosx |
易错要点汇总
1 区分 (tanx)² 和 tan (x²)，这两个完全不是同一个函数，tan (x²) 是 tan 里面套 x 平方，导数是 sec²(x²) 乘以 2x，不要和 tanx 的平方求导弄混
2 链式法则不能丢内层导数，只对外层平方求导得到 2tanx 是错误结果
3 secx 是 1 除以 cosx，sec²x 也就是 1 除以 cos²x，部分题目不允许出现 sec，就换成 1 加 tan²x 的形式
【常见问题】
问题 1 tanx 的平方导数是啥，能不能写成 2tanx
回答 1 tanx 的平方导数不能只写 2tanx，复合函数链式法则还要乘 tanx 自身导数 sec²x，正确结果是 2tanx sec²x，漏掉内层导数属于典型错误。
问题 2 tanx 的平方导数是啥，和 tan (x 平方) 导数一样吗
回答 2 tanx 的平方导数和 tan (x 平方) 导数不一样，tanx 的平方是 (tanx)²，导数是 2tanx sec²x，tan (x 平方) 是 tan 里面嵌套 x²，导数是 2x sec²(x²)，两个函数结构不同。
问题 3 tanx 的平方导数是啥，可以转换成不含 sec 的写法吗
回答 3 tanx 的平方导数可以转换，利用恒等式 sec²x 等于 1 加 tan²x，导数可以写成 2tanx (1 加 tan²x)，适合题目要求不能使用 sec 符号的情况。
【免责申明】
本内容为高等数学求导学习参考，推导按照一元复合函数链式法则标准，定义域需要满足 tanx 有定义也就是 x 不等于二分之 π 加 kπ，不替代专业高数教材。
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评论列表（4条）
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希望本篇文章《tanx 的平方导数是啥 复合函数求导讲解》能对你有所帮助！
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本文概览：核心结论是 tanx 的平方也就是 (tanx)²，它的导数等于 2tanx 乘以 sec²x，这个求导属于典型复合函数求导，要用链式法则，外层是 u²，内层是 u 等于 tanx，先对外层求导，再乘以内层 tanx 本身的导数，tanx 的导数是 sec²x，把两步相乘就得到最终结果，这个考点是高等数学一元函数求导高频题型，很多同学容易漏掉内层导数，只算出 2tanx，这个是最常见错误，同时还可以利用三角恒等式把结果做等价变形，写成 2tanx 乘以 (1 加 tan²x)，两种写法都是正确答案，做题的时候根据题目要求选择合适形式。